Questão resolvida envolvendo PA e PG, da Claretiano 2019

(Claretiano/2019) A sequência (a₁, a₂, a₃, …) é uma progressão aritmética, onde a₆ = 4a₁, e a sequência (2, b₂, b₃, …) é uma progressão geométrica crescente, cuja soma dos três primeiros termos é 26. Sabendo que as duas sequências têm a mesma razão, o valor de a₁ é
A) 3.
B) 1.
C) 2.
D) 4.
E) 5.

RESOLUÇÃO:
A sequência (a₁, a₂, a₃, …) é uma progressão aritmética (PA). Seja r a sua razão.
O termo geral de uma PA é dado por a
a_n = a₁ + (n-1) . r
De acordo com o enunciado:
a₆ = 4a₁
Utilizando a fórmula geral para n=6, tem-se:
a₆ = a₁ + (6-1) . r
a₆ = a₁ + 5 r
Substituindo, agora, a₆ por 4a₁, tem-se:
4a₁ = a₁ + 5r
3a₁ = 5r ⇒ 5r = 3a₁ ⇒ r = 3a₁/5
Analisando, agora, a PG apresentada (2, b₂, b₃, …) :
Nesta PG, o primeiro termo vale 2.
Como a PG é crescente, a razão (q) é maior que 1.
Então:
b₂ = b₁. q ⇒ b₂ =2 q
b₃ = b₁ . q² ⇒ b₃ = 2q²

Sabe-se que a soma dos 3 primeiros termos vale 26.
Dessa forma: 2, b₂, b₃= 26
Substituindo acima:
2 + 2q + 2.q² = 26
2q + 2.q² = 24 (dividindo por 2)
q + q² = 12
Podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara ou por soma e produto. Por soma e produto, procuramos dois números que somados dão -1 e multiplicados dão -12. Esses números são 3 e -4. Portanto, as raízes são $q = 3$ e $q = - 4$ .
Como a PG é crescente, descarta-se o valor -4 .
Assim, a razão (q) da PG vale 3.
Como a PA e a PG têm a mesma razão e 3a₁ = 5r (encontrado acima), determina-se o valor de a₁:
3a₁ = 5. 3 ⇒ a₁ = 5
Resp.: E