Questão resolvida envolvendo PA e PG, da FMJ

(FMJ/2019) A sequência (b₁, b₂, b₃, …) é uma progressão geométrica de razão 3 e a sequência (a₁, a₂, a₃, …) é uma progressão aritmética de razão 4, em que a₃ = b₁ e a₄ = b₂. O valor de b₄ – a₆ é

A) 38.
B) 34.
C) 36.
D) 32.
E) 40.

RESOLUÇÃO:
Do enunciado, tem-se:
(b₁, b₂, b₃, …) = PG , cuja razão vale 3 (r = 3)
(a₁, a₂, a₃, …) = PA, cuja razão vale 4 ( q = 4)
a₃ = b₁
a₄ = b₂.

Então:
a₃ = a₁ + 2 . r   ⇒  a₃ = a₁ + 2. 4 ⇒  a₃ = a₁ + 8  (isso é igual a b₁)
Logo:
a₁ + 8  = b₁  ⇒  a₁ = b₁ – 8  (equação 1)

Da mesma forma:
a₄ = a₁ + 3. r ⇒  a₄ = a₁ + 3. 4 ⇒  a₃ = a₁ + 12  (isso é igual a b₂)
Logo:
a₁ + 12 = b₂
Mas, b₂ = b₁.3
Então:
a₁ = 3b₁ – 12 (equação 2)

Igualando as duas equações, tem-se:
3b₁ – 12 = b₁ – 8  ⇒ b₁ = 2

Substituindo b₁ em qualquer equação para descobrir a₁:
a₁ = b₁ – 8
a₁ = 2 – 8 ⇒  a₁ = -6

Descobrindo b₄:
b₄ = b₁ . (q)³  ⇒b₄ = 2 . (3)³ ⇒b₄ = 54
Descobrindo a₆:
a₆ = a₁ . 5 r ⇒  a₆ = (-6) . 5 . 4  ⇒ a₆ = 14

Determinando b₄ – a₆ :
b₄ – a₆ = 54 – 14 = 40
Resp.: E

VEJA TAMBÉM:
– Questão resolvida sobre PA, da Unicamp 2015