(Unicamp/2026) Sobre dois polinômios p(x) e q(x) de coeficientes reais sabe-se que:
• p(x) + q(x) tem grau igual a 3.
• p(x) · q(x) tem grau igual a 8.
É correto afirmar que o grau de p(x) − q(x) é igual a
A) 5.
B) 4.
C) 3.
D) 2.
RESOLUÇÃO:
Grau de p(x) = m
Grau de q(x) = n
A propriedade da soma diz que o grau do resultado é geralmente igual ao maior entre os dois graus (max(m, n)). A única exceção ocorre quando os graus são iguais (m=n) e os coeficientes dos termos de maior grau se anulam (são opostos), o que faz o grau resultante diminuir.
De acordo com o enunciado:
Grau (p(x) + q(x)) = 3
Analisando as possibilidades:
Se os graus fossem diferentes (m ≠ n): O grau da soma seria o maior deles. Como a soma dos graus é 8 (m+n=8), pelo menos um deles teria que ser 4 ou mais (ex: 4 e 4, 5 e 3, 6 e 2, etc). Se o maior grau fosse 4 ou mais, o grau da soma (p+q) teria que ser esse valor.
Mas o enunciado diz que o grau da soma é 3. Conclui-se, assim, que os graus não são diferentes, pois m+n=8 não permite que ambos sejam ≤ 3. Portanto, os graus são iguais (m = n).
Como m + n = 8 e m = n, tem-se 2m = 8 ⇒ m = 4 ( e n = 4) .
Os polinômios têm grau 4.
Obs.: A soma dos graus de p(x) + q(x) é 3 porque os coeficientes do termo x4 (o termo de maior grau) são opostos e se cancelaram na soma.
Assim:
p(x) = –ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
q(x) = ax4 + b’x3 + c’x2 + d’x + e’
Se os coeficientes dominantes de p(x) e q(x) se anulam quando somados, então não se anulam quando subtraídos, logo o grau de p(x) – q(x) é 4.
Resp.: B
VEJA TAMBÉM:
– Questão comentada sobre polinômios, da Facisb 2021
– Questão resolvida sobre divisão de polinômios, da Unesp 2009-2
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