Questão resolvida envolvendo engrenagens para afiar facas, do Albert Einstein

(ALBERT EINSTEIN/2024) O mecanismo mostrado na figura foi adaptado para afiar facas. Ele é constituído de engrenagens de tamanhos diferentes e de uma fita abrasiva. O motor que faz a engrenagem 1 girar tem frequência de 75 rpm e os pinos com os quais a fita abrasiva faz contato têm raios de curvatura iguais, medindo
5 cm cada um. Nesse procedimento, a faca é mantida em contato com a fita abrasiva e em repouso em relação ao solo.

Sabendo que o número de dentes na periferia de uma engrenagem é diretamente proporcional ao raio dessa engrenagem, que não há escorregamento entre a fita abrasiva e os pinos com os quais ela faz contato e adotando π = 3, a velocidade escalar com que a fita passa pela faca que está sendo afiada é de

A) 2,0 m/s.
B) 2,5 m/s.
C) 3,5 m/s.
D) 3,0 m/s.
E) 1,5 m/s.

RESOLUÇÃO:
O primeiro ponto importante é perceber que a engrenagem 1 move a engrenagem 2. Como as engrenagens estão engrenadas, a velocidade tangencial no ponto de contato é a mesma.
Isso significa que a velocidade angular é inversamente proporcional ao número de dentes. Assim, podemos usar a relação entre as engrenagens:
f₁ · Z₁ = f₂ · Z₂
Em que f representa a frequência de rotação e Z o número de dentes.

Primeira transmissão

A engrenagem 1 possui 56 dentes e gira com frequência de 75 rpm. A engrenagem 2 possui 14 dentes.

Aplicando a relação:

75 · 56 = f₂ · 14

f₂ = (75 · 56) / 14

f₂ = 300 rpm

Logo, a engrenagem 2 gira a 300 rpm.

Ligação entre as engrenagens 2 e 3

A figura mostra que as engrenagens 2 e 3 estão no mesmo eixo. Quando isso acontece, ambas giram com a mesma frequência angular.

Portanto, a engrenagem 3 também gira com 300 rpm.

Segunda transmissão

A engrenagem 3 possui 28 dentes e aciona a engrenagem 4, que possui 14 dentes.

Usando novamente a relação entre frequência e número de dentes:

f₃ · Z₃ = f₄ · Z₄

300 · 28 = f₄ · 14

f₄ = (300 · 28) / 14

f₄ = 600 rpm

Assim, a engrenagem 4 gira com frequência de 600 rpm.

Cálculo da velocidade da fita

A fita abrasiva está em contato com o pino ligado ao sistema. Como o enunciado informa que não há escorregamento, a velocidade da fita é igual à velocidade tangencial do pino.

Primeiro, vamos converter a frequência de 600 rpm para rotações por segundo:

600 rpm = 600 / 60 = 10 rps

Agora usamos a fórmula da velocidade linear:

v = 2πrf

Com os dados:

r = 5 cm = 0,05 m

π = 3

f = 10 s^-1

Substituindo:

v = 2 · 3 · 0,05 · 10

v = 3,0 m/s

Resp.: D

VEJA TAMBÉM:
– Questão resolvida sobre engrenagem, do Enem
– Resolução da questão sobre movimento circular, da Fema 2016
– Resolução da questão sobre conservação da energia e movimento circular, do Pism