Questão resolvida sobre análise combinatória, da Famerp

(Famerp/2015) Uma seleção de futebol convocou 23 jogadores, sendo 2 para cada uma das 10 posições de linha, e 3 para o gol.
Um dos jogadores de linha convocado pode jogar em duas posições de linha diferentes (a posição para a qual foi convocado e mais uma outra posição), e todos os demais convocados jogam apenas em sua respectiva posição de convocação, incluindo-se os goleiros. Respeitando-se a posição que cada jogador pode jogar, o total de escalações distintas que essa seleção pode fazer é igual a
A) 3 · 2¹².
B) 3²· 2⁹.
C) 3²· 2¹¹.
D) 3 · 2¹¹.
E) 3 · 2¹⁰.

RESOLUÇÃO:
Posições existentes:
GOL  POSIÇÃO 1  POSIÇÃO 2   POSIÇÃO 3 …….   POSIÇÃO 10

De acordo com o enunciado, tem-se que considerar 3 possibilidades (chamaremos de “J” o jogador que pode atuar em mais de 1 posição).
1ª) O jogador “J” está na posição 1, para a qual ele foi escalado.
2ª) O jogador “J” está na posição 2, para a qual ele não escalado.
3ª) O jogador “J” não joga.

Considerando a 1ª situação:
Goleiro: 3 opções
Se o jogador “J” está na posição 1, não há possibilidade de escolha para ele (ele fica  na posição 1).
Para as demais posições há duas opções de jogadores cada.
Então:
3 x 1x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 3 x 2⁹

Considerando agora o jogador “J” na posição 2 (2ª situação possível).
Goleiro: 3 opções
Posição 1: apenas 1 possibilidade (a ocupada pelo outro jogador, sem ser o “J”).
Posição 2: apenas 1 possibilidade também (uma vez que uma delas é o jogador “J”).
Então:
3 x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 3 x 2⁸

3ª situação: O jogador “J” não joga
Goleiro: 3 opções
Posição 1: 1 opção (o jogador “J” não joga)
Demais posições: 2 possibilidades
Então:
3 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 3 x 2⁹

Como são possibilidades exclusivas (uma ou outra), somam-se as possibilidades:
3 x 2⁹ + 3 x 2⁸ + 3 x 2⁹
Colocando 3 x 2⁸ em evidência, tem-se:
3 x 2⁸ (2 + 1 + 2) = 3 x 2⁸ (5) = 15 x 2⁸
Não há opção de resposta.
Gabarito oficial trouxe B.

VEJA TAMBÉM:
– Questão resolvida sobre análise combinatória, do EsPCEx 2020