(UEG/2026) As sequências (a1,a2,…,an,…) e (b1,b2,…,bn,…) são progressões aritméticas. Definindo-se as sequências (0,7,14,21,…)= (a1+b1,a2+b2,…,an+bn,…) e (−4,−7,−10,−13,…)= (a1−b1,a2−b2,…,an−an,…), verifica-se que a soma a3+b8 é
A) 11
B) 21
C) 37
D) 39
E) 55
RESOLUÇÃO:
Primeiro passo: Encontrar o termo geral das sequências fornecidas.
Para a sequência SOMA (que chamaremos de Sn), tem-se:
Termos: 0, 7, 14, 21, …
Primeiro termo (s1) = 0
Razão (rs) = 7 – 0 = 7
Termo geral Sn = S1 + (n-1).r ⇒ Sn = 0 + (n-1).7 ⇒ Sn = 7n – 7
Assim, tem-se que an+bn = 7n – 7 (Equação I)
Agora para a sequência DIFERENÇA (que chamaremos de Dn):
Termos: -4, -7, -10, -13, …
Primeiro termo (D1) = -4
Razão (rd) = -7 – (-4) = -3
Termo geral: Dn = D1 + (n-1).r ⇒ Dn = -4 + (n-1).(-3) ⇒ Dn = -4 – 3n + 3 ⇒ Dn = -3n-1
Assim, tem-se que an – bn = -3n-1 (Equação II)
Termos: -4, -7, -10, -13, …
Primeiro termo (D1) = -4
Razão (rd) = -7 – (-4) = -3
Termo geral: Dn = D1 + (n-1).r ⇒ Dn = -4 + (n-1).(-3) ⇒ Dn = -4 – 3n + 3 ⇒ Dn = -3n-1
Assim, tem-se que an – bn = -3n-1 (Equação II)
Encontrando, agora, o valor de an (somando equação I com equação II):
an+bn + an – bn = 7n – 7-3n-1 ⇒ 2an = 4n-8 ⇒ an = 2n-4 (Equação III)
Encontrando, agora, o valor de bn (subtraindo a equação II da equação I):
an – bn – (an+bn )= = -3n-1 – (7n – 7) ⇒ -2bn = -10n +6 ⇒ bn= 5n-3 (Equação IV)
an – bn – (an+bn )= = -3n-1 – (7n – 7) ⇒ -2bn = -10n +6 ⇒ bn= 5n-3 (Equação IV)
Calculando a3: (Substituindo valores na equação III)
n = 3 (3º termo).
n = 3 (3º termo).
a3 = 2 . (3) – 4 ⇒ a3 = 6 – 4 ⇒ a3 = 2
Calculando b8 (Substituindo valores na equação IV) n =8 (8º termo)
b8 =5. (8) – 3 ⇒ b8 = 37
Somando a3 + b8 : 2 + 37 = 39
Resp.: D
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